Ensembles finis Exemples

$\frac{x^{2}}{2} + 4 x + 10 = 0$

Étape 1

Pour écrire $4 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + 4 x \cdot \frac{2}{2} + 10 = 0$

Étape 2

Associez $4 x$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{4 x \cdot 2}{2} + 10 = 0$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + 4 x \cdot 2}{2} + 10 = 0$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 4 x \cdot 2$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 4 x \cdot 2}{2} + 10 = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x \cdot 2$ .

$\frac{x \cdot x + x (4 \cdot 2)}{2} + 10 = 0$

Étape 4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (4 \cdot 2)$ .

$\frac{x (x + 4 \cdot 2)}{2} + 10 = 0$

Étape 4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{x (x + 8)}{2} + 10 = 0$

Étape 5

Pour écrire $10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x + 8)}{2} + 10 \cdot \frac{2}{2} = 0$

Étape 6

Associez $10$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x + 8)}{2} + \frac{10 \cdot 2}{2} = 0$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x + 8) + 10 \cdot 2}{2} = 0$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 8 + 10 \cdot 2}{2} = 0$

Étape 8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 8 + 10 \cdot 2}{2} = 0$

Étape 8.3

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 10 \cdot 2}{2} = 0$

Étape 8.4

Multipliez $10$ par $2$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 20}{2} = 0$

Étape 9

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} + 8 x + 20 = 0$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 10.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 10.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 8$ et $c = 20$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Étape 10.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $20$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.3.1.3

Soustrayez $80$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.3.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.3.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 10.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 10.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2}$

Étape 10.3.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 2 i$

Étape 10.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 10.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Étape 10.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $20$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.4.1.3

Soustrayez $80$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.4.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.4.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 10.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 10.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2}$

Étape 10.4.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 2 i$

Étape 10.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 4 + 2 i$

Étape 10.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 10.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.5.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Étape 10.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $20$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.5.1.3

Soustrayez $80$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.5.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.5.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 10.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 10.5.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 10.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i}{2}$

Étape 10.5.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 2 i$

Étape 10.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 4 - 2 i$

Étape 10.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 4 + 2 i, - 4 - 2 i$